Dérivation
La dérivée, c'est la vitesse de changement. Et oui, en maths aussi tout va trop vite.
Cours
Nombre dérivé
Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
Fonction dérivée
Si $f$ est dérivable, $f'$ est la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$.
Tangente
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
Apprends-la. Tatoue-la. Récite-la avant de dormir.
Dérivées usuelles
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
- $(e^x)' = e^x$ (le boss)
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Opérations
- $(u+v)' = u' + v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $(u/v)' = (u'v - uv') / v^2$
- $(u^n)' = n u' u^{n-1}$
Lien dérivée / variations
- $f' > 0$ → $f$ croissante
- $f' < 0$ → $f$ décroissante
- $f' = 0$ → extremum potentiel
Formules clés
Méthodes
Étudier les variations d'une fonction
- 1Calculer f'(x) en utilisant les formules
- 2Déterminer le signe de f'(x) (factoriser, étudier numérateur/dénominateur)
- 3Dresser le tableau de variations
- 4Préciser les extremums (valeur de f, pas seulement de x)
Trouver l'équation d'une tangente
- 1Identifier le point : a = abscisse, calculer f(a)
- 2Calculer f'(x), puis f'(a)
- 3Appliquer y = f'(a)(x − a) + f(a)
- 4Développer si on demande la forme y = mx + p
Astuces & pièges
« Dérivée du premier × second + premier × dérivée du second ». Comme une danse à deux, faut alterner.
(u/v)' a u'v EN PREMIER. Si tu inverses, le signe se barre, et avec lui ta note.
(eˣ)' = eˣ. C'est la SEULE fonction non nulle qui est sa propre dérivée. Respecte-la.
Teste-toi
1.Dérivée de f(x) = 3x⁴ − 2x + 7 ?
2.Tangente à f en a=1 si f(1)=3 et f'(1)=2 :
3.Si f' > 0 sur I, alors f est…
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Dériver f(x) = 2x³ − 5x² + 7x − 4.
Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 3). Donner f'(x) et étudier son signe.
Tangente à f(x) = x² − 4x + 1 au point d'abscisse a = 3.
Pour aller plus loin
Vidéos, fiches et exos vérifiés (Maths et tiques, Lumni, Khan Academy, Physagreg…).