Trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente. Le trio qui a rendu le bac obligatoire pour beaucoup d'élèves.

Cours

Cercle trigonométrique

Cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (antihoraire).

Un angle $x$ en radians correspond à un point $M$ du cercle. On définit :

$\cos x$ = abscisse de $M$
$\sin x$ = ordonnée de $M$

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos x$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
$\sin x$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$

→ Apprends-les. Par cœur. Aujourd'hui.

Identités fondamentales

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (TOUJOURS, pour tout x)
$\cos(-x) = \cos x$ (paire)
$\sin(-x) = -\sin x$ (impaire)
$\cos(x + \pi) = -\cos x$
$\sin(x + \pi) = -\sin x$
$\cos(x + \pi/2) = -\sin x$
$\sin(x + \pi/2) = \cos x$

Périodicité

$\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques : $$\cos(x + 2\pi) = \cos x$$

Conversion degrés ↔ radians

$$\text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180}$$

Formules clés

Pythagore trigo

cos²x + sin²x = 1

Cosinus pair

cos(-x) = cos x

Sinus impair

sin(-x) = -sin x

Décalage π/2

cos(x + π/2) = -sin x ; sin(x + π/2) = cos x

Conversion

rad = deg × π/180

Méthodes

Calculer cos x connaissant sin x (et inversement)

1Utiliser cos²x + sin²x = 1
2Isoler cos²x = 1 - sin²x
3Prendre la racine : cos x = ±√(1 - sin²x)
4Choisir le SIGNE en fonction du quadrant où se trouve x

Résoudre cos x = a (ou sin x = a) sur [0 ; 2π]

1Identifier une solution évidente x₀ (souvent une valeur remarquable)
2Utiliser la symétrie : si cos, autre solution = -x₀ (mod 2π) ; si sin, autre = π - x₀
3Garder uniquement les solutions dans l'intervalle demandé

Astuces & pièges

Sin = ordonnée, Cos = abscisse

Toujours visualiser le cercle. C'est la BOUSSOLE de la trigo.

Piège à éviter

cos(a+b) ≠ cos a + cos b. La formule d'addition est cos a·cos b - sin a·sin b. À tatouer.

À retenir

180° = π rad. 90° = π/2. 60° = π/3. 45° = π/4. 30° = π/6. Mémorise la "famille" pour tout convertir.

Cos² + Sin² = 1. Ça a sauvé plus de candidats au bac que tous les profs particuliers réunis.

Teste-toi

1.cos(π/3) = ?

2.sin(π/2) = ?

3.Si sin x = 3/5 et x ∈ [0;π/2], cos x = ?

Exercices corrigés

Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.

EX. 01Facile

Convertir 135° en radians.

EX. 02Moyen

Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π].