Produit scalaire

Définitions équivalentes

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.

1. Avec norme et angle : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$$

2. Avec coordonnées (dans un repère orthonormé) : Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$

3. Avec projeté orthogonal : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v'}$ où $\vec{v'}$ est le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur la droite portant $\vec{u}$.

Propriétés

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Bilinéarité : $(\alpha\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = \alpha(\vec{u}\cdot\vec{v}) + \vec{w}\cdot\vec{v}$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$

Orthogonalité

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

→ C'est l'outil ultime pour démontrer qu'un angle est droit.

Théorème d'Al-Kashi

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ Généralisation de Pythagore aux triangles quelconques.