Vecteurs du plan
Une flèche, c'est pas qu'une indication routière. C'est un objet mathématique avec des superpouvoirs.
Cours
Définition
Un vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par :
- une direction (la droite portant le vecteur)
- un sens (de A vers B, pas l'inverse)
- une norme (longueur)
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont mêmes direction, sens et norme.
Coordonnées
Dans un repère, si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors : $$\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A)$$
Opérations
- Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ → on ajoute les coordonnées (relation de Chasles).
- Produit par un réel : $k \cdot \vec{u}$ → multiplie chaque coordonnée par k.
Colinéarité
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires ssi : $$xy' - x'y = 0$$
"La colinéarité, c'est l'amour parallèle des vecteurs."
Formules clés
Méthodes
Montrer que trois points A, B, C sont alignés
- 1Calculer les coordonnées de AB et AC
- 2Calculer le déterminant : xAB × yAC − xAC × yAB
- 3Si le résultat est 0 → vecteurs colinéaires → points alignés
- 4Sinon, ils ne sont pas alignés. Et tu refais ton calcul, en vrai.
Astuces & pièges
Pour la norme, n'oublie pas le carré AVANT la racine. Sinon t'inventes une nouvelle géométrie.
AB ≠ BA. AB et BA ont la même norme mais des sens opposés : BA = -AB.
La relation de Chasles, c'est la SNCF des vecteurs : tu peux faire un détour, t'arrives quand même.
Teste-toi
1.A(1;2), B(4;6). Coordonnées de AB ?
2.Norme du vecteur (3;4) ?
3.u(2;3) et v(4;6) sont…
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
A(2 ; 1), B(5 ; 7). Calculer les coordonnées de AB et sa norme.
Montrer que A(1 ; 2), B(4 ; 8), C(7 ; 14) sont alignés.
Pour aller plus loin
Vidéos, fiches et exos vérifiés (Maths et tiques, Lumni, Khan Academy, Physagreg…).