Limites de fonctions

Limite en l'infini

Dire que $\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand.

Si $L = +\infty$ : $f$ explose vers le haut. Si $L = -\infty$ : $f$ plonge vers le bas.

Limites usuelles en +∞

• $\lim x^n = +\infty$ (n>0)
• $\lim e^x = +\infty$
• $\lim \ln x = +\infty$ (mais TRÈS lentement)
• $\lim 1/x = 0$

Croissances comparées (L'ARME ULTIME)

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$ $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$

→ L'expo écrase tout. Le ln se fait écraser par tout.

Formes indéterminées (FI)

• $\infty - \infty$
• $0 \times \infty$
• $\infty / \infty$
• $0/0$

Quand t'as une FI, tu factorises, tu simplifies, ou tu utilises les croissances comparées. JAMAIS tu n'écris "FI = 0".

Asymptotes

• Si $\lim_{x\to a} f = \pm\infty$ → asymptote verticale $x = a$
• Si $\lim_{x\to\pm\infty} f = L$ → asymptote horizontale $y = L$