Fonction exponentielle
La fonction préférée de la finance, des virus, et de ton anxiété.
Cours
Définition
La fonction exponentielle $\exp$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.
Notation : $\exp(x) = e^x$.
Propriétés algébriques
- $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$
- $e^{-a} = 1/e^a$
- $e^{a-b} = e^a / e^b$
- $(e^a)^n = e^{na}$
Variations
- $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
- $\exp(x) > 0$ pour tout $x$ (DONC tu peux diviser par eˣ sans peur)
Limites
- $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$
- $\lim_{x\to+\infty} e^x/x^n = +\infty$ (croissance comparée)
Dérivée d'une composée
$$(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
Équations
$e^a = e^b \iff a = b$ $e^a = k \iff a = \ln k$ (avec k > 0)
Formules clés
Méthodes
Résoudre eᵃ⁽ˣ⁾ = eᵇ⁽ˣ⁾
- 1Vérifier que les deux membres sont strictement positifs (toujours vrai pour eˣ)
- 2Utiliser : eᵃ = eᵇ ⟺ a = b
- 3Résoudre l'équation a(x) = b(x)
Étudier f(x) = u(x)·eᵛ⁽ˣ⁾
- 1Dériver : f'(x) = u'·eᵛ + u·v'·eᵛ = eᵛ·(u' + u·v')
- 2Comme eᵛ > 0, le signe de f' dépend uniquement de (u' + u·v')
- 3Étudier ce facteur, dresser le tableau
Astuces & pièges
Toujours factoriser par eˣ (ou par e^(quelque chose)) car c'est strictement positif → simplifie le signe.
eˣ + e⁻ˣ ≠ e⁰ = 1. C'est un piège classique. eᵃ + eᵇ ne se simplifie PAS.
exp et ln sont réciproques : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x (pour x > 0).
L'exponentielle, c'est la fonction qui dit "je serai toujours plus rapide que toi". Et elle a raison.
Teste-toi
1.e³ × e⁻⁵ = ?
2.Dérivée de f(x) = e^(2x+1) ?
3.L'équation eˣ = -3 a…
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Résoudre eˣ⁺¹ = e²ˣ⁻³.
Étudier les variations de f(x) = (x − 2)·eˣ sur ℝ.
Pour aller plus loin
Vidéos, fiches et exos vérifiés (Maths et tiques, Lumni, Khan Academy, Physagreg…).