Lois à densité & loi normale

Variable aléatoire à densité

Une v.a. $X$ est à densité s'il existe une fonction $f$ (positive, d'intégrale 1) telle que : $$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x),dx$$

Conséquence : $P(X = a) = 0$ pour toute valeur $a$. (La masse est sur des intervalles, pas des points.)

Loi uniforme sur $[a;b]$

Densité constante : $f(x) = \frac{1}{b-a}$ sur $[a;b]$.

• $P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$
• $E(X) = \frac{a+b}{2}$

Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

• $\mu$ : espérance (centre de la cloche)
• $\sigma$ : écart-type (largeur de la cloche)

Densité : $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$

Cas $\mu = 0$, $\sigma = 1$. On note souvent $Z$.

Pour toute loi normale, $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$.

Intervalles "1-2-3 sigma" (à connaître)

• $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}68$
• $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95$
• $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997$

"Si tu retiens UNE seule chose : 95% des valeurs sont à ±2σ de la moyenne. La règle d'or de la stat."