Convexité
Une courbe qui sourit ou qui boude. Et un point d'inflexion qui hésite entre les deux.
Cours
Définitions intuitives
- $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de toutes ses cordes (et en-dessous de ses tangentes). Forme : ∪ (sourit).
- $f$ est concave sur $I$ si sa courbe est en-dessous de ses cordes (au-dessus de ses tangentes). Forme : ∩ (boude).
Caractérisation par la dérivée
- $f$ convexe ⟺ $f'$ croissante ⟺ $f'' \geq 0$
- $f$ concave ⟺ $f'$ décroissante ⟺ $f'' \leq 0$
Point d'inflexion
Point où la convexité change. À ce point, $f''(x) = 0$ et $f''$ change de signe.
Exemples classiques
- $x \mapsto x^2$ : convexe sur $\mathbb{R}$
- $x \mapsto e^x$ : convexe sur $\mathbb{R}$
- $x \mapsto \ln x$ : concave sur $]0;+\infty[$
- $x \mapsto x^3$ : concave sur $\mathbb{R}-$, convexe sur $\mathbb{R}+$, point d'inflexion en 0.
Inégalité de convexité
Si $f$ est convexe, pour tout point $a$ : $$f(x) \geq f'(a)(x-a) + f(a)$$
→ La courbe est au-dessus de sa tangente.
Formules clés
Méthodes
Étudier la convexité d'une fonction
- 1Calculer f'(x), puis f''(x)
- 2Étudier le signe de f''(x)
- 3Sur les intervalles où f'' ≥ 0 → convexe ; où f'' ≤ 0 → concave
- 4Les zéros de f'' où le signe change = points d'inflexion
Astuces & pièges
Convexe = pile en bas, comme un bol qui peut contenir de l'eau. Concave = pile en haut, comme un parapluie.
f''(x₀) = 0 ne SUFFIT PAS pour avoir un point d'inflexion. Il faut que f'' CHANGE de signe (ex : x⁴ a f''(0)=0 mais reste convexe).
exp est convexe, ln est concave. C'est leur identité profonde. À avoir en tête.
Teste-toi
1.f(x) = x². f''(x) = ?
2.Si f''(x) < 0 sur I, alors f est :
3.f(x) = x³ admet un point d'inflexion en :
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Étudier la convexité de f(x) = x³ - 3x² + 2.