Probabilités conditionnelles & variables aléatoires

Probabilité conditionnelle

La probabilité de $A$ sachant $B$ (avec $P(B) > 0$) : $$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants ssi : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Équivalent : $P(A|B) = P(A)$.

Formule des probabilités totales

Si ${B_1, ..., B_n}$ partitionne l'univers : $$P(A) = \sum_i P(B_i) \cdot P(A|B_i))$$

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

$X$ suit $\mathcal{B}(n,p)$ si $X$ compte le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité $p$.

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

• Espérance : $E(X) = np$
• Variance : $V(X) = np(1-p)$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Arbre pondéré

La somme des proba sur les branches partant d'un même nœud vaut 1. La proba d'un chemin = produit des proba des branches.