Intégration
Une dérivée à l'envers. Une aire sous une courbe. Et beaucoup de larmes.
Cours
Primitive
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Deux primitives diffèrent d'une constante.
Intégrale définie
$$\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)$$ où $F$ est une primitive de $f$.
Primitives usuelles
| $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $x^{n+1}/(n+1)$ |
| $1/x$ | $\ln |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $u' \cdot e^u$ | $e^u$ |
| $u'/u$ | $\ln |
Propriétés
- Linéarité : $\int(af + bg) = a\int f + b\int g$
- Chasles : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$
- Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a;b]$ → $\int_a^b f \geq 0$
Interprétation : aire
Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, $\int_a^b f(x) dx$ est l'aire (en unités d'aire) entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$ et $x=b$.
Valeur moyenne
$$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x),dx$$
Formules clés
Méthodes
Calculer une intégrale
- 1Trouver une primitive F de f
- 2Calculer F(b) puis F(a)
- 3Soustraire : F(b) − F(a)
- 4Vérifier le signe (cohérent avec celui de f sur l'intervalle ?)
Calculer l'aire entre deux courbes
- 1Identifier la courbe du dessus (g) et du dessous (f)
- 2Trouver les bornes (intersections : g(x) = f(x))
- 3Aire = ∫ₐᵇ (g(x) − f(x)) dx
- 4Toujours positive : si tu trouves négatif, t'as inversé.
Astuces & pièges
Quand tu vois quelque chose × eᵃˣ²⁺ᵇˣ, vérifie si la chose est la dérivée de l'exposant. Si oui : primitive = e^(exposant).
Primitive de 1/x = ln|x| (avec valeur absolue). Pas ln x. Le |·| change tout sur ℝ⁻*.
Une intégrale peut être négative. Une AIRE non. Si on demande une aire et tu trouves négatif, prends l'opposé.
Trouver une primitive, c'est jouer aux devinettes en respectant les règles. Comme l'amour.
Teste-toi
1.Primitive de f(x) = 3x² + 2x ?
2.∫₀¹ eˣ dx = ?
3.Si f ≤ 0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx est…
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Calculer ∫₁³ (2x + 1) dx.
Aire entre la courbe de f(x) = x² et l'axe Ox sur [0 ; 2].
Pour aller plus loin
Vidéos, fiches et exos vérifiés (Maths et tiques, Lumni, Khan Academy, Physagreg…).