Second degré

Forme développée

Une fonction polynôme du second degré s'écrit : $$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

Forme canonique

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Le sommet de la parabole est le point $S(\alpha ; \beta)$.

Discriminant

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

• $\Delta > 0$ : 2 racines réelles distinctes $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $\Delta = 0$ : 1 racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$
• $\Delta < 0$ : aucune racine réelle (la parabole ne touche pas l'axe des x)

Forme factorisée (si $\Delta \geq 0$)

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Signe de $ax^2 + bx + c$

• $\Delta < 0$ : signe constant (= signe de $a$)
• $\Delta = 0$ : signe de $a$ partout, sauf annulation en $x_0$
• $\Delta > 0$ : signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre.

"À l'extérieur des racines, signe de a. Entre les racines, signe contraire. Le théorème qui te sauve."