Continuité & TVI
Une fonction continue, c'est une fonction qu'on peut tracer sans lever le crayon. Le contraire de ta motivation.
Cours
Continuité
$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.
$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle l'est en tout point de $I$.
Toutes les fonctions usuelles (polynômes, $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$, racines, valeurs absolues…) sont continues sur leur domaine de définition.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = k$.
Corollaire : TVI version stricte
Si en plus $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$, alors $c$ est unique.
→ C'est l'outil pour prouver qu'une équation $f(x) = k$ admet une unique solution.
Dérivable ⟹ continue
Une fonction dérivable est continue (mais la réciproque est FAUSSE : $x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais pas dérivable).
"Continue mais pas dérivable, c'est comme arriver à l'heure mais sans la copie."
Formules clés
Méthodes
Prouver que f(x) = k a une unique solution sur [a;b]
- 1Vérifier que f est continue sur [a;b] (fonction usuelle)
- 2Étudier les variations de f : prouver qu'elle est strictement monotone
- 3Vérifier que k est entre f(a) et f(b)
- 4Conclure par le TVI version stricte : solution unique
Astuces & pièges
Le TVI ne donne PAS la valeur de c. Il dit juste qu'il existe. Pour trouver c, utilise la calculatrice (balayage / dichotomie).
Sans monotonie stricte, le TVI donne juste "au moins une solution". Pas unique. Vérifie TOUJOURS la monotonie.
Dérivable ⟹ continue. Continue ⟹/ dérivable. Le sens compte.
Teste-toi
1.f continue sur [0;2], f(0) = -3, f(2) = 5. L'équation f(x) = 0 admet :
2.Toute fonction dérivable est…
3.La fonction valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Montrer que x³ + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle.