Géométrie dans l'espace
La géométrie, mais avec une dimension de plus. Et trois fois plus de chances d'inverser un signe.
Cours
Repère orthonormé de l'espace
Un point $M$ a 3 coordonnées : $M(x;y;z)$. Un vecteur $\vec{u}$ a 3 coordonnées : $\vec{u}(x;y;z)$.
Coordonnées d'un vecteur
Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ : $$\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$$
Norme
$$||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
Produit scalaire en 3D
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Représentation paramétrique d'une droite
Droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ : $$\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases}, ; t \in \mathbb{R}$$
Équation cartésienne d'un plan
$$ax + by + cz + d = 0$$ où $\vec{n}(a;b;c)$ est un vecteur normal au plan.
Position relative
- Deux plans : parallèles si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires ; perpendiculaires si $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
- Droite/plan : la droite est parallèle au plan si vecteur directeur ⊥ normal du plan.
Formules clés
Méthodes
Trouver l'équation cartésienne d'un plan
- 1Identifier un vecteur normal n(a;b;c) au plan
- 2Écrire ax + by + cz + d = 0
- 3Utiliser un point du plan pour déterminer d (substitution)
- 4Vérifier avec un autre point connu du plan
Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan
- 1Écrire la représentation paramétrique de la droite
- 2Substituer x, y, z dans l'équation du plan
- 3Résoudre l'équation en t
- 4Si une solution → un point d'intersection. Si aucune → droite parallèle. Si infinité → droite incluse.
Astuces & pièges
L'équation d'un plan, c'est juste "vecteur normal · AM = 0". Tout part de là.
Deux plans peuvent être PARALLÈLES sans être confondus. Les normaux sont colinéaires, mais les d sont différents.
Pour montrer qu'un point est dans un plan, substitue ses coordonnées dans ax+by+cz+d. Si = 0, il y est.
Teste-toi
1.Plan d'équation 2x - y + 3z + 1 = 0. Vecteur normal ?
2.u(1;2;-1), v(2;-1;0). u·v = ?
3.Norme du vecteur (3;4;0) ?
Exercices corrigés
Tu galères ? Normal. Cherche d'abord, regarde le corrigé après.
Le point A(1;2;3) appartient-il au plan 2x + y - z - 1 = 0 ?