Logarithme népérien

Définition

La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ comme la réciproque de $\exp$.

$$\ln x = y \iff e^y = x$$

$\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$.

Propriétés algébriques

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
• $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
• $\ln(a^n) = n \ln a$
• $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln a$

Dérivée

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$ $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$

Variations

$\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Limites

• $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$
• $\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$
• $\lim_{x\to+\infty} \ln x / x^n = 0$

Équations / inéquations

• $\ln a = \ln b \iff a = b$ (avec a,b > 0)
• $\ln a < \ln b \iff a < b$ (croissante)
• $\ln x = k \iff x = e^k$